用人单位没有和工人签订劳动合同的，如果工人有证据能证明与用人单位存在事实劳动关系的，就可以申请劳动仲裁。能证明劳动关系的证据主要有：公司名称的工装、工作证或工作牌（最好盖有公章）、工资卡、工资条、考勤记录、社会保险缴纳记录、同事证言（离职在职的都可以）、录音录像或者其它有你名字和公章的文件等（其中有公章的工作证、社会保险缴费记录、有你名字和公章的文件，有一个足以证明劳动关系）另外，申请劳动仲裁时，应携带劳动仲裁申请书、身份证复印件、相关证据、用人单位的工商注册信息，然后去当地劳动争议仲裁委申请立案就可以。

严格来说不能，单位为新员工办理社保手续时，是必须向社保局提交劳动合同备案的，没合同当然不能交。但是一些地方的社保局管的不严的话也可以，只要增员的员工在其他单位没有冲突记录即可。至于你们的问题，既然之前都交过，为什么现在又要再次提交合同呢？也许是单位发现没和你们签合同，可能会导致一些风险，所以随便找个理由和你们补签而已。