题主，你好。根据题目描述，回答几点如下：

1、合同续签，用人单位应当提前30天告知员工是终止合同还是续订劳动合同。

2、员工合同5月31号到期，贵司在5月16号已与该员工续签合同，已有合同事实，后又决定放弃续签，属于非法解雇，员工可以申请劳动仲裁，公司需要赔偿该员工经济补偿大约为上一年度月均薪资*工作年限（未满一年部分，已满半年算一年，未满半年，算半年）*2倍，以及其他相关违规后果。

3、若未与该员工续签事实合同，应当赔偿合同到期补偿金约为上一年度月均工资*工作年限（未满一年部分，已满半年算一年，未满半年，算半年），同时未尽到告知义务。

4、企业用人应当规范，已在岗在编员工，未出现重大过失和可解除合同条件，不应当存在经公司研究决定与之解除劳动合同这一情况。

仅供参考，以上。